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E’ possibile identificare un numero complesso scritto in forma algebrica:
z=x+iy
con un vettore in un riferimento cartesiano ortonormale Oxy:
dove la quantità:
viene detta modulo di z mentre l’angolo orientato J che la semiretta OP forma con il semiasse positivo delle x, argomento o anomalia di z.
La posizione del punto P è definita da J e da ogni altro angolo multiplo di esso di un angolo giro: J+2kp, con k appartenente a Z.
Si deduce quindi che ogni numero complesso z=x+iy risulta geometricamente determinato quando se ne assegna il modulo e l’argomento.
Dalla precedente figura possiamo ricavare le seguenti relazioni:
x=rcosJ y=rsinJ
da cui:
   .
La forma:
z=r(cosJ+isinJ)
viene detta forma trigonometrica del numero complesso z.
Dati due numeri complessi:
z1=r1(cosJ1+isinJ1) z2=r2(cosJ2+isinJ2)
è possibile definire il loro prodotto come:
z1z2=r1r2 (cosJ1+isinJ1)(cosJ2+isinJ2)=
=r1r2 (cosJ1 cosJ2+isinJ1 cosJ2+isinJ2 cosJ1 +isinJ2 isinJ1)=
=r1r2 (cosJ1 cosJ2+isinJ1 cosJ2+isinJ2 cosJ1 - sinJ2 sinJ1)=
=r1r2 [cosJ1 cosJ2 - sinJ2 sinJ1+i(sinJ1 cosJ2+sinJ2 cosJ1)]=
=r1r2 [cos(J1 + J2 )+isin(J1 +J2)]
Quindi:
z1z2=r1r2 [cos(J1 + J2 )+isin(J1 +J2)]
Questa formula può essere generalizzata al caso di n fattori uguali al numero complesso z, quindi abbiamo:
z*z* …*z=r*r* ....r [cos(J + J + ... +J )+isin(J +J+ ... +J)]
e possiamo scrivere:
zn= [r(cosJ + isinJ)]n=rn(cosJ + isinJ)
dove n appartenente a Z
Questa formula è detta formula di Moivre e riveste particolare importanza nelle applicazioni.
E’ possibile definire anche l’operazione di divisione, infatti si ha:
Possiamo definire anche la radice n-esima di un numero complesso.
Si chiama radice n-esima (con n intero positivo) di un numero complesso z ogni numero complesso n tale che si abbia:
nn=z
Se z=0 si ha che n=0.
Supponiamo pertanto che sia z diverso da 0 e scriviamo i due numeri complessi sotto forma trigonometrica:
z=r(cosJ+isinJ)
n=g (cosj+isinj)
Avvalendoci della formula di Moivre, possiamo scrivere:
gn(cosnj+isinnj)=r(cosJ+isinJ)
e tenendo presente che se due numeri complessi sono uguali allora i loro moduli lo sono, mentre i loro argomenti differiscono di un multiplo intero di 2p:
gn=r nj=J+2kp
da cui:
 
sostituendo queste nell’espressione di n, abbiamo:
Tale formula fornisce per ogni valore intero di k, una radice n-esima del numero complesso n.
Osserviamo che ogni numero complesso non nullo: z=r(cosJ+isinJ) ammette n e solo n radici n-esime, date dalla formula:
dove si pone, successivamente k=0, 1, 2, 3, ………, n-1
Particolare importanza riveste per le applicazioni la determinazione delle radici n-esime dell’unità, vale a dire del numero complesso z=1.
Difatti, essendo:
z=cos 0 + i sin 0 = 1
risulta:
r=1 J=0
per cui abbiamo:
Se n = 3 otteniamo le seguenti radici cubiche che si possono applicare per l’equazione di terzo grado:
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