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Una questione interessante di teoria dei numeri è connessa al teorema di Pitagora.
Ai greci era noto che un triangolo di lati 3, 4, 5 è rettangolo.
Questo suggerisce il problema generale: quali altri triangoli rettangoli hanno lati le cui lunghezze sono multipli interi di una lunghezza unitaria?
Il teorema di Pitagora è espresso algebricamente dall’uguaglianza:
a2 + b2 = c2
dove a e b sono le lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo e c è la lunghezza dell’ipotenusa.
Il problema di trovare tutti i triangoli rettangoli con lati le cui lunghezze siano misurate da numeri interi è quindi equivalente al problema di trovare tutte le soluzioni intere (a, b, c) dell’equazione a2 + b2 = c2.
Ogni terna di tali numeri è detta terna pitagorica, quindi le terne pitagoriche sono quelle terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora[1].
In generale tali terne sono tutte e sole quelle del tipo:
a = m2 – n2, b = 2mn, c = m2 + n2
dove a, b, c costituiscono la terna pitagorica; m e n sono numeri naturali con m > n.
Una delle tante formulazioni del teorema di Pitagora sostiene che:
“Se a e b sono i cateti di un triangolo rettangolo e c è l’ipotenusa, si ha
a2 + b2 = c2”
Vale anche il viceversa:
“Se i lati a, b e c di un triangolo verificano la relazione a2+b2=c2, allora il triangolo è rettangolo, a e b sono i cateti e c l’ipotenusa”.
La dimostrazione è molto semplice.
Costruiamo, un triangolo rettangolo con i cateti a e b, e sia d la sua ipotenusa.
Per il teorema di Pitagora si ha:
d2 = a2 + b2,
mentre per ipotesi:
a2 + b2 = c2.
Ne deriva che:
d2 = c2,
dunque
d = c,
cosicché i due triangoli hanno i tre lati uguali, e dunque sono uguali.
Ma il secondo era per costruzione un triangolo rettangolo con i cateti a e b, e quindi lo stesso vale per il primo.
Il risultato precedente ci dà un metodo molto semplice per costruire triangoli rettangoli senza bisogno di misurare gli angoli.
Infatti basta trovare tre numeri a, b e c, che verifichino la relazione a2 + b2 = c2; il triangolo di lati a, b e c sarà automaticamente rettangolo.
I numeri a, b e c formano una terna pitagorica.
Infatti si ha
a2 = (m2 - n2)2 = m4 + n4 - 2m2 n2
e
b2 = (2mn)2 = 4 m2 n2
e quindi
a2 + b2 = m4 + n4 - 2m2 n2 + 4 m2 n2 =
= m4 + n4 + 2m2 n2 =
= (m2 + n2)2 = c2.
Le formule:
a = m2 – n2, b = 2mn, c = m2 + n2
generano infinite terne pitagoriche che si dividono in:
- Terne Pitagoriche Primitive
- Terne Pitagoriche Derivate
Le terne pitagoriche primitive sono quelle il cui M.C.D. è uguale ad 1, mentre le terne pitagoriche derivate sono quelle costituite da tre numeri interi il cui M.C.D. è diverso da 1.
La formula:
a = m2 – n2, b = 2mn, c = m2 + n2
dà tutte le possibili terne pitagoriche.
Cominciamo, infatti, con l’osservare che se a, b e c formano una terna pitagorica, lo stesso vale per ha, hb e hc.
Ci si può quindi limitare a considerare terne con a e b primi tra loro; tutte le altre si otterranno moltiplicando a, b e c per lo stesso numero.
Facciamo ora vedere che a e b devono essere uno pari e uno dispari, e di conseguenza c deve essere dispari.
Che a e b non siano ambedue pari dipende dal fatto che sono primi tra loro.
Che non possano essere ambedue dispari, è un po’ più delicato.
Se a e b fossero dispari, lo sarebbero anche a2 e b2 , cosicché c2 , somma di due numeri dispari, sarebbe pari, e quindi c sarebbe pari. D’altra parte, se a e b sono dispari si deve avere:
a = 2k+1 b=2h+1
da cui
a2 = (2k+1)2 = 4k2 +4k+1
b2 =4h2 +4h+1
e sommando si ottiene:
c2 =a2 +b2 = 4(k2 +k+h2 +h) + 2.
Da questa formula segue che dividendo c2 per 4 si ottiene il quoziente k2 +k+h2 +h e il resto 2.
In particolare, c2 non è divisibile per 4, e questo è assurdo, dato che c è pari.
Riassumendo, se a, b e c formano una terna pitagorica, i due numeri a e b devono essere uno pari e uno dispari (ad esempio b pari ed a dispari), e di conseguenza c deve essere dispari.
Nella relazione a2 +b2 = c2 portiamo a2 a secondo membro; si ha:
b2 = c2 - a2 = (c + a)(c – a).
Siccome a e c sono dispari, c+a e c–a sono pari.
Se poniamo:
b=2s c+a=2x c–a=2y,
avremo:
s2=xy.
Anche x e y sono primi tra loro; infatti se avessero un fattore comune q, anche a = x – y sarebbe divisibile per q, e lo stesso sarebbe vero per b2 , e dunque per b, in contraddizione con l’ipotesi che a e b fossero primi tra loro.
Siccome il prodotto xy è un quadrato, x e y sono essi stessi dei quadrati:
x=m2 e y=n2 .
Si avrà allora in conclusione:
a=x–y=m2-n2 c=x+y=m2+n2 b2=4xy=4m2n2
per cui:
b = 2mn.
La formula:
a = m2 – n2, b = 2mn, c = m2 + n2
è così dimostrata.
Dando a m e n valori successivamente differenti, sempre primi tra loro, e uno pari e l’altro dispari, troviamo tutte le possibili terne pitagoriche.
Se invece è dato in input un solo numero n è possibile determinare da esso una terna pitagorica (a,b,c) nel seguente modo:
a = n,  , 
Se n è dispari si ottengono terne pitagoriche formate da numeri naturali, mentre se n è pari si ottengono terne pitagoriche formate da numeri decimali, se vogliamo anche in questo caso ottenere terne pitagoriche formate da numeri naturali dobbiamo porre:
a = 2n, b = n2 – 1, c = n2 + 1
Si deve ad Euclide (Lemma 1 della Proposizione 29 del libro X degli Elementi) la relazione:
(b2 – a2)2 + (2ab)2 = (b2 + a2)2
che fornisce le terne pitagoriche per a e b primi tra loro, uno pari e l’altro dispari. Tale relazione detta comunemente di Diofanto – Fermat, si trova anche nel Liber quadratorum di Leonardo Pisano (detto il Fibonacci), opera datata 1225 ed è contenuta in importanti codici del XV secolo[2].
[1] R. Courant, H. Robbins, Che cosa è la matematica? , p. 79-80, Bollati Boringhieri.
[2] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni.
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